Секрет потерянных полей или продолжение эры неевклидовой геометрии

в заголовке Икосаэдрический "глобус" Мёбиуса

Нам известен один безумный поступок, который совершил русский математик Николай Лобачевский в экстазе своего бессилия хоть как-то обосновать свою идею о существовании потерянной точки на прямой, в последствии названной несобственной. Для обоснования этой идеи он нарисовал на листе бумаги окружность и прямую, предположив, что им принадлежащие пары точек приведены каким-то образом в однозначное соответствие. Возможно, что для этого он использовал преобразование инверсии, где центр преобразования выбран на окружности в точке "О" по линии касания к некой второй прямой, проведенной параллельно заданной.

В ходе полемики он указал на реально обозримую точку "О" окружности, которая должна была соответствовать потерянной точке на прямой, ушедшей в бесконечность. Это утверждение вызвало улыбку у "ученых мужей", так как оно противоречило пятому постулату Эвклида о непересечении параллельных прямых. Тогда на глазах у всей публики обезумевший математик вырезал лезвием эту злополучную точку окружности и выбросил в зал, заявив, что если параллельные прямые не пересекаются, то этой точки на окружности не должно быть, но она есть, и вы ее можете не только видеть, но и потрогать руками.

С тех пор прошло много времени. Но никто тогда не предполагал, что этим безумным курьезом начнется эра неэвклидовой геометрии. Казалось бы, это качественно новое видение сняло все вопросы на пути дальнейшего развития абстрактных знаний. Но... сегодня мы вновь столкнулись с той же проблемой потерянных элементов пространств — теперь уже линий и плоскостей.

Родственное сходство или различие могут иметь не только объекты живой природы, но и объекты абстрактного мира. Давно замечено: "квадрат" является "чистокровным родственником" любого четырехугольника. А потому несущественным в родственных преобразованиях является так называемое "половое" различие, которое Иоганн Кеплер обнаружил в двойственных парах "куб — октаэдр", "додекаэдр — икосаэдр". В частности, он нашел, что каждый двойник, принадлежащий любой такой паре, внешне не похож на своего спутника. Но это только внешне. На самом деле он имеет с ним генетически одинаково устроенный "скелет". У куба и октаэдра он представляется составленным из 13 осей и 9 плоскостей симметрии, а у додекаэдра и икосаэдра соответственно 31 осью и 15 плоскостями.

Очевидно, что эти неизменные расположения элементов, которые принято называть связками линий и плоскостей родства, представляют собой некий ключевой "генетический код" преобразования куба в октаэдр или додекаэдра в икосаэдр, а так же несметное число соответствующих родственных объектов полуправильных выпукло вогнутых очертаний.

Самым поразительным событием в 30-е годы XIX столетия было открытие Гесселем двойниковых спутников для архимедовых тел, которые были названы равногранными, или телами Гесселя. К сожалению, на это обстоятельство тогда мало кто обратил внимание. Но в результате этого возникли расположения граней, которые приводили к равногранным образованиям в различных инвариантах модификаций. Это было основное их отличие от равнореберных архимедовых образований, представлявшихся некими частными случаями расположения, когда они образуют правильные грани. Более того, эти частные случаи при продолжении треугольных, квадратных, пятиугольных и других правильных граней стали проявлять некие родственные связи как частные инварианты полей, сохраняющие соответствующую симметрию архимедовых образований. Это привело к новому открытию в XX веке трех видов сферических симметрий Кокстером — тетраэдральному, октаэдральному и икосаэдральному, на основе которых строились все известные платоновы, архимедовы и равногранные образования. Принадлежность их к одному из трех видов симметрии стала очевидной. Так появились знаменитые модели трех "глобусов" Мебиуса. Здесь мы показываем на одном из глобусов — икосаэдрическом — нанесенные на него кокстеровские меридианы и образовавшиеся между ними равновеликие сферические треугольники Мебиуса как прототип 120-гранника Госселя.

Каждая из формообразующих плоскостей на всем пути своего следования по кокстеровскому меридиану всякий раз порождает (при остановке) различные модификации своего взаимного расположения в определенном их числовом значении. Так, в октаэдрической системе симметрии в этом общем случае может возникнуть 24 плоскости, а в икосаэдрической симметрии — 60 плоскостей. В тех же частных случаях, когда октаэдрическая система схлопывается в октаэдр, куб или ромбический 12-гранник, а икосаэдрическая система — в икосаэдр, додекаэдр или ромбический 30-гранник, мы видим, что многие из этих плоскостей исчезают. Так возникают потерянные плоскости в некоторых расположениях, как и в случае с ранее упомянутой несобственной точкой прямой.

Более того, всякая возникшая пространственная конфигурация расположения плоскостей (вследствие симметрии) обладает способностью схлопываться в соответствующую плоскую конфигурацию двухмерной эпюры, которая является носителем размеров соответствующей пространственной структуры.

Таким образом, мы имеем новое подтверждение того проективного положения, которое не ставит различия между конфигурациями двумерного и трехмерного пространства (аналогично плоской и пространственной конфигурации Дезарга). Однако наши двухмерные конфигурации являются носителями метрически достоверной информации обо всей пространственной структуре расположения плоскостей. Таким образом, возникает (как бы!) механизм наполнения сферического пространства элементами (точками, прямыми линиями и плоскостями) с последующим их отображением на плоской эпюре. Необходимо только разглядеть в соответствующих эпюрах все эти исчезнувшие линии (под ними мы понимаем плоскости, как и выброшенную в зал "точку").

Все это свидетельствует о существовании проективного механизма преобразований одного из инвариантов расположения плоскостей в пространстве вплоть до совмещения их (схлопывания) в одно плоское поле чертежа. Полученный чертеж является метрически достоверным отображением соответствующих упорядоченных инвариантов расположения плоскостей в пространстве.

Нами обнаружены и другие "странности" геометрической теории многогранников.

Теперь нам достоверно известно, что все архимедовы тела, равно как и им двойственные тела Гесселя, обязательно подчиняются соответствующим симметриям платоновых тел, то есть имеют их же оси и плоскости симметрии.

Однако нас до последнего времени все же смущала лишь одна пара многогранников, так называемых "плосконосых" ("курносых") архимедовых образований. Эти многогранники обладают весьма заметной "винтовой" симметрией расположения их граней. Причем они могут быть не только "левого", но и "правого" хода. Оказывается, упомянутые плоскостные многогранники "левого" и "правого" хода также полностью не совмещаются. Фактом признания "левых" и "правых" архимедовых многогранников мы обязаны внести поправку: существуют два новых многогранника и их число следует прибавить к ранее установленному числу 13. Таким образом, мы имеем 13+2=15 архимедовых многогранников и соответственно 15 их равногранных двойников.

Виктор Николаевич Гамаюнов — профессор, доктор искусствоведения.

from Наука, Независимая газета

add red.lenty