Теорфизика для малышей-12: размерная трансмутация -- поразительнейшее явление в теорфизике

Когда на первых курсах университета (а некоторым, если повезет, то еще в школе) хорошие преподаватели учат своих студентов "чувствовать физику", они обязательно обсуждают с ними анализ размерностей. Анализ размерностей -- не в том простом смысле, что "килограмм не может равняться километру" (это, слава богу, учителя стремятся привить еще со средней школы), а в конструктивном смысле, как сильный аргумент при нахождении ответов.

Это, к примеру, означает то, что если в задаче просят найти какую-нибудь длину, а в формулировке присутствует единственный параметр размерности "метр", то ответ обязан иметь вид: этот единственный параметр помноженный на какой-то коэффициент. (Несложный пример: пушка может выстреливать снаряды под любым углом к горизонту, но только с определенной скоростью. Известна максимально возможная дальность полета снаряда. Чему равна максимально возможная высота подъема снаряда в воздух? Сопротивлением воздуха пренебречь.)

Если же окажется так, что никакими манипуляциями с исходными данными (включая и "разрешенные" универсальные константы типа ускорения свободного падения для задач на движение в поле тяжести, постоянной Планка для квантовой механики и т.д.) размерность "метр" не получишь, то это значит, что ответить на вопрос задачи нельзя. (Пример: имеется пушка массы 500 кг, снаряды массы 10 кг и артиллерист массой 105 кг. Какова максимально возможная дальность полета снаряда?)

Вкратце суть "размерных аргументов" можно сформулировать вкратце так: "Размерные физические величины берутся не просто так, а проистекают из других размерных величин".

Теперь внимание: начинается то, что на первый взгляд кажется "ересью", но на самом деле -- это одно из самых поразительных явлений в теорфизике.

Оказывается, что описанные выше размерные аргументы не всегда работают. В теории элементарных частиц есть явление под названием размерная трансмутация, которая означает, что в задаче появляется параметр размерности массы как будто бы ни из чего, а точнее сказать, непонятно из чего.

Я в свое время в университете проходил размерную трансмутацию в курсе квантовой хромодинамики, но никакого особого внимания на ней не заострялось. И лишь недавно я осознал, насколько странным, математически противоестественным выглядит это явление.

Я поясню суть размерной трансмутации на таком примере.

Вот у нас есть адроны: протон, нейтрон, мезоны и т.п. (всякие лептоны оставим на время в покое). У всех у них есть какие-то массы, у кого-то больше, у кого-то меньше. Возникает вопрос: откуда берутся эти массы, можно ли их вывести?

Ну, поскольку мы знаем, что адроны -- частицы составные, состоят из кварков, то логично предположить, что массы адронов определяются массами кварков. К сожалению, уже беглый взгляд на таблицу адронов отметает эту естественную гипотезу. Вот есть пи-мезоны с массой около 140 МэВ. А вот есть ро-мезоны, которые, будучи составлены из тех же кварков, имеют массу 770 МэВ, т.е. в 5 раз больше.

Более того, оказывается, что масса кварка -- вещь вообще малопонятная. И наконец, современные исследования говорят, что даже если бы кварки были абсолютно безмассовые, то наблюдаемые массы протона, нейтрона и т.д. практически бы не изменились.

Погодите-погодите, как же так? Что ж получается: если мы рассматриваем теорию (КХД) с безмассовыми кварками, то в нашей задаче у нас нет вообще никаких параметров размерности массы! Так откуда тогда возьмется масса протона?

Студент-физик с улыбкой возразит, что, мол, с помощью известных фундаментальных констант типа скорости света и постоянной Планка можно "перегонять" одну размерность в другую. Поэтому если мы в задаче найдем, например, параметр с размерностью длины (например, радиус протона), то мы отсюда легко можем получить и размерность массы.

Но беда-то в том, что у нас нет вообще никаких размерных параметров! В КХД мы работаем только с кварками и глюонами (лептоны в нашей задаче не при чем), исследуем то, как они друг с другом взаимодействуют и образуют связанные состояния. Массы кварков мы занулили, у глюонов массы не было с самого начала. Все константы связи -- величины безразмерные.

То есть, получается, что задача-то наша -- полностью безразмерная!!! Так откуда могут взяться какие-то нетривиальные размерные параметры??!!

Парадоксально, не правда ли? И тем не менее, физики умудрились совершить "подвиг", а именно, даже стартуя с безмассовой КХД, они (численно, с помощью решеточных вычислений) получили наблюдаемый спектр адронов с какими-то определенными массами. Не важно, близкими к наблюдаемым или нет (на самом деле, довольно близкими), главное, что вообще -- с какими-то массами!

Только вот результаты таких вычислений представляются в несколько странном виде ...

Впрочем, я хочу на этом пока остановиться. Про то, как выглядят результаты, я скажу позже, а пока я хочу, чтобы читатели прочувствовали "некомфортность", "странность" этой ситуации. Как будто бы основополагающая математическая теорема, четко доказанная, насквозь понятная и прозрачная, вдруг начинает давать сбои.

Два послесловия.
Первое -- в учебниках по КХД под размерной трансмутацией подразумевается появление не массы протона, а несколько иного параметра. Это различие, однако, не важно, поскольку одно влечет за собой другое. В изложенном здесь взгляде на вещи суть явления размерной трансмутации максимально обнажена. Размерная трансмутация выглядит словно никем не жданная, переворачавающая все с ног на голову гостья в теорфизике.

Второе -- есть соблазн ввести с арсенал "разрешенных" фундаментальных констант гравитационную постоянную, и тогда можно без труда сконструировать размерность массы. Но это -- ложный путь. Ведь мы рассматриваем квантовую теорию поля, рассматриваем ее безо всякой связи с гравитацией. Мы нигде не обращаемся к гравитации, ее для нас пока словно вообще не существует. Гравитация, конечно, что-то будет менять в мире, но для проблемы происхождения массы протона в КХД она не нужна. Или все-таки... Впрочем, не буду торопить рассказ.

И наконец, просьба. Я не знаю другого примера в теорфизике, который был бы аналогичен размерной трансмутации в КХД. Может, кто подскажет?

Обозрение Игоря Иванова "Теорфизика для малышей"